Медиана треугольника. Теоремы связанные с медианами треугольника. Формулы для нахождения медиан

Контрольная работа № 2 «Треугольники» по геометрии в 7 классе с ответами для УМК Атанасян. Вариант 1. Автор заданий: Н.Б. Мельникова. Дидактические материалы (упражнения) для учителей, учащихся и родителей. Геометрия 7 Атанасян К-2 В-1.

Геометрия 7 класс (Атанасян) Контрольная работа № 2. Вариант 1

image

К-2 «Треугольники» (транскрипт заданий)

Часть 2. Запишите ответ к заданию 2. № 2. В треугольнике BCD стороны BD и CD равны, DM – медиана, угол BDC равен 38°. Найдите углы BMD и BDM.

Часть 3. Запишите обоснованное решение задач 3–5. № 3. Луч SC является биссектрисой угла AS В, а отрезки SA и SB равны. Докажите, что Δ SAC = Δ SBC. № 4. В окружности с центром О проведены хорды DE и РК, причем ∠DOE = ∠POK. Докажите, что эти хорды равны. № 5*. Точка D лежит внутри треугольника PRS. Найдите ∠RDS, если RS = PS, DP = DR, ∠RDP = 100°.

Геометрия 7 Атанасян К-2 В-1. Решения и ОТВЕТЫ на контрольную работу:

№ 1.   2, 5.

№ 2.   90°, 19°.

№ 3.   См.решения.

№ 4.   См.решения.

№ 5.   130°.

Смотреть подробные РЕШЕНИЯ заданий Варианта 1

image

Вы смотрели: Контрольная работа № 2 «Треугольники» по геометрии в 7 классе с ответами для УМК Атанасян. Дидактические материалы (упражнения) для учителей, учащихся и родителей.

Вернуться на страницу: Контрольные работы по геометрии в 7 классе УМК Атанасян.

Перейти на страницу: Контрольные работы по геометрии в 7 классе УМК Мерзляк.

Цитаты (упражнения) из учебного пособия «Геометрия 7 класс. Контрольные работы по геометрии к учебнику Л.С. Атанасяна и др» (авт. Н.Б. Мельникова) использованы на сайте исключительно в учебных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ). ОТВЕТЫ на контрольную работу адресованы родителям для проверки знаний учащихся.

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня мы поговорим о таком понятии в математике, как МЕДИАНА.

У этого слова несколько значений, и обо всех мы упомянем. Но в первую очередь нас интересует то, с которым знакомят школьников на уроках геометрии ближе к старшим классам.

И в этом случае МЕДИАНА имеет непосредственное отношение к такой геометрической фигуре, как треугольник.

Медиана — это…

Медиана – это отрезок или часть прямой линии, которая проведена из вершины треугольника к середине противоположной стороны. Точно так же называется и длина этого отрезка.

Вот обратите внимание на этот простой, но очень наглядный рисунок. На нем изображен треугольник со сторонами АВ, АС и ВС, или как принято писать в математике — треугольник АВС.

Точка М – это середина стороны ВС. И соответственно линия АМ, проведенная из вершины А до середины стороны ВС, и есть МЕДИАНА.

Еще раз повторим! Медиана – понятие, которое имеет отношение только к треугольникам. У других похожие линии называются по-другому. Например, у прямоугольников и квадратов – это диагональ. А у окружности – это диаметр.

Стоит отметить, что сам термин имеет латинский корень. И в переводе дословно означает «средний». А чтобы еще проще было запомнить, что такое медиана, есть прекрасный стишок:

Кстати, если внимательно прочитать это стихотворение, то в нем можно выделить ключевые слова – «с серединой стороны ЛЮБОЙ». То есть в нашем примере медиана может выходить не только из вершины А, но также из В и С. И делить пополам не только сторону ВС, но и АС и АВ соответственно.

И из этого можно сделать логический вывод, что медиан у любого треугольника может быть несколько. А точнее, три!

И выглядят они вот так.

На этом рисунке мы отчетливо видим все три медианы. Они обозначаются отрезками CA, PL и KM.

Пересечение медиан треугольника

Точка О, в которой пересекаются все медианы треугольника, также имеет свое особое название. И даже несколько – центр тяжести, центроид, геометрический центр, барицентр, центр инерции. Ну а неформально эту точку называют точкой равновесия.

Чтобы лучше понять, что это такое, представьте себе треугольник, вырезанный из бумаги или картона. Если вы на нем проведете все три медианы и найдете точку их пересечения, то подставив под нее палец, вы сможете удерживать ваш картонный треугольник в равновесии, не давая ему упасть.

Важно! С точкой пересечения медиан связан один математический факт. Она делит каждую медиану на два отрезка, соотношение которых составляет 2 к 1, если считать от вершины.

Если для примера взять указанный выше треугольник, то тогда это правило можно расписать следующим образом:

  1. Отрезок СО вдвое больше, чем отрезок АО;
  2. Отрезок РО вдвое больше, чем отрезок LO;
  3. Отрезок МО вдвое больше, чем КО.

Это правило не требует доказательств. Но если хотите, можете провести в домашних условиях опыт и убедиться в правдивости расчетов.

Медиана равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник сам по себе уникален, так как все его три стороны имеют одинаковую длину. Логично предположить, что и медиана в нем какая-то особенная?! Да, так оно и есть.

Медиана в равностороннем треугольнике является одновременно и высотой, и биссектрисой.

Если кто не знает, высотой в треугольнике называют отрезок, который опускается из вершины перпендикулярно, то есть под прямым углом к основанию. А биссектриса – это линия, которая выходит из вершины треугольника и делит ее угол ровно пополам.

” alt=””>

И наконец, еще одна «фишка» равностороннего треугольника. У него все три медианы равны по длине.

Кстати, присмотритесь к рисунку. С помощью медиан в любом треугольнике образуются внутренние маленькие треугольники. Так вот, в равносторонней фигуре они равны между собой как по длине сторон, так и по площади.

Медиана прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник, если кто забыл, это треугольник, у которого один угол составляет 90 градусов. И в такой фигуре медиана тоже обладает уникальными свойствами.

Но речь идет только о той медиане, которая выходит из прямого угла. Так вот, ее длина равна половине длины гипотенузы. Так называют самую длинную сторону прямоугольного треугольника.

Соответственно, при решении задач правдиво будет и обратное условие. Так, если указано, что отрезок СМ в нашем примере равен АВ/2, или равен отдельно АМ и ВМ, то можно смело делать вывод, что перед нами прямоугольный треугольник.

Вместо заключения

А теперь вернемся к тому, о чем мы говорили в самом начале статьи. Термин МЕДИАНА имеет несколько значений.

Например, а в статистике медианой называют уровень показателей, который делит все данные на две равные половины.

Слово «медиана» используется и в дорожном строительстве, обозначая середину асфальтного полотна. Правда, этот термин можно найти только в технических документациях, а в обычной жизни мы говорим просто «разделительная полоса».

И наконец, в Сербии есть археологический памятник, который называется Медиана. Так назвалась древнеримская вилла, руины которой находятся в городе Неш. Она уникальна тем, что была построена при императоре Константине в 300 году и была его резиденцией, в которой он принимал почетных гостей.

Вот и все, что мы хотели рассказать о МЕДИАНЕ. До новых встреч на страницах нашего блога.

— это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Медиана делит противолежащую сторону пополам. — это точка пересечения медианы со стороной треугольника.

На рисунке 1 изображены три медианы, делящие каждая свою противолежащую сторону пополам

Свойства медианы

  1. Медиана делит противолежащую сторону пополам.
  2. Медиана разбивает равнобедренный треугольник на два треугольника.
  3. Медианы треугольника пересекаются в одной точке.
  4. Любой треугольник имеет три медианы.

Признаки медианы

Смотреть ответ Ответ проверен экспертом 4 (17 оценок) 44

bolivianouft и 1 других пользователей посчитали ответ полезным!

–> –> Задай вопрос Найди нужный

Новые вопросы по предмету Математика

помогите пожалуйста срочно!!!​ РЕШИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!!!ДАМ 100 БАЛЛОВ ​ Найдите tg a,если cos a =1/✓10,а є (з л/2 ;2л)​ В любой трапеции найдутся два равных угла: верно или нет? длины сторон прямоугольника равны 10 и 6. через точку о пересечения диагоналей прямоугольника проведен перпендикуляр к плоскости прямоугольника … https://vashotvet.com/task/996601

image

Всего ответов: 1

Ответы

Ответ разместил: Гость

обозначим точку с. строим двугранный угол с ребром ав. перпендикуляр к нему ск=6 корней из 3. перпендикуляр ко второй грани сд. в треугольнике скд угол  д прямой скд=60 -линейный угол двугранного угла. тогда сд=ск*sin60=(6корней из 3)*(корень из 3)/2=9.

Ответ разместил: Гость

основание параллелипипеда-параллелограмм

диагонали параллелепипеда 

одна диагональ d1=√12^2+5^2= 13 см

вторая диагональ d2=√56+5^2= 9 см

вторая из диагоналей основания равна

d2=√[2(6^2+8^2)-12^2]=√56 см

Ответ разместил: Гость

    cоединим концы двух вертикальных отрезков(разных по высоте деревьев.слева дерево четырехугольник авсd. от точки в проведем отрезок вк, параллельный ас.

получился прямоугольный треугольник вск. вк, ск – катеты, вс- гипотенуза

вк=аd=12м, как противоположные стороны прямоугольника .

ск=сd-кd

ck=15-6=9(м)

вс 2=вк 2+ ск 2  (теор.пифагора)                                                                               

вс 2 = 12*12+9*9                                                                                                                         

вс= корень из 225                                                                                                                           

вс=15(м)                                                                                                                                                         

Ответ разместил: Гость

по условию   основание пирамиды – равностороний треугольник. пусть в нем сторона равна x, тогда

                  h^2=x^2+x^2/4

                  h^2=3x^2/4

                  h=x√3/2

                  x=2h/√3=2*12/√3=24/√3  =√192=8√3

площадь основания равна

                  s=ah/2

                  s=8√3*12/2=48√3

найдем высоту одной грани пирамиды

высота пирамиды проектирунется в центр основания   o,   причем высота основания делится в отношении 2: 1 начиная от вершины, поэтому если ak-высота основания, то ok=12/3=4

то есть

              h1^2=h^2+ok^2

              h1^2=144+16=160

              h1=4√10

площадь одной боковой грани равна

              s1=h1*a/2

              s1=4√10*8√3/2=32√30

общая площадь равна

              so=s+3s1=48√3+96√30

Другие вопросы по: Геометрия

image Две эликтрички двигались от двух платформ навстречу друг другу. через 3 минуты после встречи расстояние между ними стало равным 7 км 500 м. сколько метров в мин поезжала первая эли… Опубликовано: 01.03.2019 02:10 Ответов: 1 Созыв генеральских штатов учередительное собрание 14июня 1789 года…. Опубликовано: 01.03.2019 14:50 Ответов: 3 image Объем фляги с соком, если 16 ее объема равна 5л. (вырази объем фляги в дм3(кубе)… Опубликовано: 01.03.2019 16:00 Ответов: 1 Вариант №1 1.какое ускорение будет сообщать камню массой 3 кг сила 9 н? 2. каким импульсом обладает тело массой 200 г движущееся со скоростью 18 км/ч? 3. под действием силы тело… Опубликовано: 01.03.2019 20:00 Ответов: 1 Веревку длиной 63м разрезали на два куска так, что 0.4 длины первого куска были равны 0.3 длины второго куска. найдите длину меньшего куска…. Опубликовано: 02.03.2019 04:50 Ответов: 3 image Пусть f(x)=ax+b где а, b – целые числа. найдите а и b если f((=243x+605 в левой части равенства функция f(x) применяется некоторое конечное число раз, большее одного… Опубликовано: 02.03.2019 05:10 Ответов: 1 Знаешь правильный ответ? Запишите номера верных утверждений: 1) ТМ-медиана треугольника NFT, 2) RH-высота треугольника LRS, 3…

Популярные вопросы

Брусок массой 10 кг под действием силы 20 н двигается по горизонтальной поверхности с ускорением 1.5 мс2. какая сила трения между бруском и поверхностью?… Опубликовано: 26.02.2019 15:00 Ответов: 1 1)4cos^(3)x+4sin^(2)x=1+3cosx 2)sinx+cos3x=0 3)1/cos^2 x =3+tgx… Опубликовано: 27.02.2019 22:30 Ответов: 2 Фонетичний розбір слова джмелі, українська… Опубликовано: 28.02.2019 16:10 Ответов: 3 1.что было раньше правления хаммурапи в вавилоне или тутмоса в египте? насколько раньше? 2. о чем заботился хаммурапи в своих законах? обоснуйте свой ответ. 3.чем отличалось пол… Опубликовано: 01.03.2019 07:30 Ответов: 2 Надо составить план рассказ, 2) имена существительные в роли главных и второстепенных членов предложения. пример… Опубликовано: 01.03.2019 15:30 Ответов: 3 Написать сочинение о труде, которое можно поместить в стен. газету… Опубликовано: 02.03.2019 04:30 Ответов: 3 Продолжите текст 3 строчки улица. вечер. фонари. круги света и темнота. !… Опубликовано: 04.03.2019 06:40 Ответов: 3 1. в чем причинапреломлениясвета? 2. какоесреды называютимеющимбольшуюоптическую плотность?… Опубликовано: 07.03.2019 15:10 Ответов: 3 Будь ласка ,іть написати твір – розум “чи потрібна сучасній людині честь? ” завтра повинна здати… Опубликовано: 07.03.2019 18:10 Ответов: 1 Существует ли правельный многоугольник у которого углы равны 145 градусов… Опубликовано: 07.03.2019 21:40 Ответов: 3 Случайные вопросы

Популярные вопросы

Оцените статью
Рейтинг автора
4,8
Материал подготовил
Егор Новиков
Наш эксперт
Написано статей
127
А как считаете Вы?
Напишите в комментариях, что вы думаете – согласны
ли со статьей или есть что добавить?
Добавить комментарий